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Les élèves plébiscitent les tpe .

Pourquoi les enseignants sont-ils parfois sceptiques vis à vis des tpe ?

Néanmoins il se suffit pas de dire je vais mincir .

Mon enfant a t'il un problème de poids ?

Combien de kilos puis-je perdre avec un régime ?

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Ma fille est trop grande .

Les fondements permettant de comprendre les besoins pour la nutrition de l'enfant sont dans la diététique .

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Les courbes de croissance sont utilisées pour suivre la croissance de l'enfant .

Ma recette pour rester mince, c'est de faire attention à ce que je mange .

Suis-je trop grosse ?

Pourquoi est important de posséder des notions de diététique ?

Comment maigrir ?

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Grâce au rebond d'adiposité il est possible de détecter une tendance à l'obésité chez l'enfant .

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Néanmoins il se suffit pas de dire je vais maigrir .

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En effet, pourquoi un régime permet-il de mincir rapidement ?

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Les tpe sur la croissance sont au programme de cette année .

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Il faut toujours compléter un régime par une augmentation de l'activité physique .

Comment rester mince ?

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Mon indice de masse corporelle (IMC) est trop élevé .

La pratique régulière d'une activité physique peut vous aider à réduire votre indice de masse corporelle (IMC) .

Une mauvaise alimentation peut être à l'origine d'un surpoids .

Il est très important de suivre la courbe de poids durant toute l'enfance .

Mcorpulence est trop élevée .

C'est durant l'enfance que l'on doit suivre régulièrement les courbes de croissance .

Une mauvaise alimentation peut être à l'origine d'une augmentation de l'indice de masse corporelle (IMC) .

Une bonne stratégie d'ammincissement permet de maigrir rapidement .

Ma recette minceur c'est la pratique régulière d'activités physiques .

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L'objectif est d'atteindre 3 heures et demi d'exercice physique par semaine .

J'en ai marre d'être petit et gros .

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La diététique doit-elle être enseignée à l'école ?

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C'est durant l'enfance que l'on doit suivre régulièrement la courbe de corpulence afin de détecter une éventuelle obésité .

Il est nécessaire de pratiquer régulièrement une activité physique .

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J'en ai marre d'être grande et grosse .

Une tendance à la boulimie durant l'enfance aggrave les risques d'obésité à l'âge adulte .

Ma recette pour rester mince, c'est de faire attention à ce que je mange .

Pourquoi préparer des recettes légères ?

La pratique régulière d'une activité physique peut vous aider à réduire votre poids .

Ma fille est trop petite .

Il est parfois très utile de suivre un régime lorsque l'on est en surpoids .

Les enfants qui se trouvent trop gros doivent consulter les courbes de poids de référence .

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Vous trouverez de nombreuses recettes légères .

Mcorpulence est trop élevée .

La diététique doit-elle être enseignée à l'école ?

Pratiquer régulièrement une activité physique et une alimentation équilibrée peut vous aider à réduire votre indice de masse corporelle (IMC) .

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Le meilleur moyen de mesurer la taille de son bébé est d'utiliser une toise matelas adaptée.

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Je suis petite et grosse .

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Un éléve a présenté un tpe très intéressant sur la diététique .

Une mauvaise alimentation peut être la cause d'une augmentation du poids .

La pratique régulière d'une activité physique et une alimentation équilibrée peut vous aider à réduire votre indice de masse corporelle (IMC) .

Cette recette n'est pas vraiment diététique .

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Variez votre alimentation et privilégiez les recettes légères .

Il est très important de suivre la courbe de périmètre thoracique durant toute l'enfance .

Lorsqu'un adulte est atteint de boulimie, il est souvent en surpoids .

Pourquoi utiliser une toise adaptée pour mesurer la taille de son bébé ?

Mcorpulence est trop élevée .

Restez mince en ayant une activité physique régulière et une alimentation équilibrée .

Qu'est ce que veut dire être en surpoids ?

La pratique régulière d'une activité physique peut vous aider à réduire votre poids .

Bien mesurer la taille de son enfant c'est avant tout utiliser une toise adéquate.

Comment mincir ?

Il n'existe pas de recette miracle pour mincir .

Bien comprendre la diététique est indispensable avant de se lancer dans un régime .

Une alimentation équilibrée est la garantie d'une croissance équilibrée de l'enfant .

Pour maigrir il est préférable de composer soit même ses recettes .

Suis-je trop gros ?

Où trouver des recettes diététique pour ma famille ?

Les tpe permettent d'apporter des points supplémentaires pour l'épreuve du baccalauréat .

Bien peser son bébé c'est avant tout utiliser un pèse-bébé électronique adéquat.

Les enseignants plébiscitent les tpe .

L'objectif est d'atteindre 3 heures et demi d'exercice physique par semaine .

La croissance dans les tpe est un sujet très intéressant .

Pratiquer régulièrement une activité physique et une alimentation équilibrée peut vous aider à réduire votre poids .

Manger mieux est plus efficace que n'importe quel régime pour rester mince .

Cette recette diététique est délicieuse .

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Une tendance à la boulimie durant l'enfance aggrave les risques d'obésité à l'âge adulte .

Un bon pèse-bébé électronique garanti des mesures de poids de votre bébé fiables.

Il est très important de suivre la courbe de périmètre thoracique durant toute l'enfance .

Une mauvaise alimentation peut être à l'origine d'une augmentation de l'indice de masse corporelle (IMC) .

Cependant votre pédiatre se doit de placer les points sur les courbes de croissance du carnet de santé .

Patiquer régulièrement une activité physique peut vous aider à réduire votre poids .

Une bonne dose d'activité physique vaut mieux que tous les conseils de diététique .

Ma recette pour ne plus être grosse, c'est de faire attention à ce que je mange .

Ma corpulence est-elle trop faible ?

Lorsqu'un enfant est atteint de boulimie, il est souvent en surpoids .

J'ai découvert la diététique lors de mon premier régime .

J'ai décidé de maigrir .

Mon indice de masse corporelle (IMC) est-il trop élevé ?

Il n'existe pas de recette miracle pour mincir .

Un dossier pédagogique permet aux professeurs et aux élèves de faciliter la réalisation et le suivi des tpe .

C'est durant la petite enfance que l'on doit suivre régulièrement les courbes de croissance .

Une mauvaise alimentation peut être la cause d'une augmentation du poids .

Ours à colorier .

Comment rester mince grâce à une alimentation équilibrée ?

Il n'est pas conseillé de suivre un régime sans notions de diététique et de nutrition .

Néanmoins quelques notions de diététique sont souhaitables pour réussir un régime .

Un éléve a présenté un tpe très intéressant sur les courbes de croissance .

C'est durant l'enfance que l'on doit suivre régulièrement la courbe de corpulence afin de détecter une éventuelle obésité .

Chien à colorier .

Comment rester mince grâce à une alimentation équilibrée ?

Une alimentation équilibrée est la garantie d'une croissance équilibrée de l'enfant .

Quel type de pèse-personne utiliser pour se peser ?

Une bonne stratégie d'ammincissement permet de mincir rapidement .

Il est très important de suivre la courbe de périmètre thoracique durant toute l'enfance .

Un éléve a présenté un tpe très intéressant sur la boulimie .

En effet, pourquoi un régime permet-il de mincir rapidement ?

J'ai envie de maigrir .

Singe à colorier .

La pratique régulière d'une activité physique et une alimentation équilibrée peut vous aider à réduire votre poids .

Les courbes d'IMC (Indice de Masse Corporelle) sont utilisées pour détecter l'obésité chez l'adulte .

Variez votre alimentation et privilégiez les recettes légères .

Vous trouverez de nombreuses recettes légères .

Pourquoi utiliser une toise matelas adaptée pour mesurer la taille de son bébé ?

Ma corpulence est trop faible .

Les courbes de corpulence sont utilisées pour détecter l'obésité chez l'enfant .

Une bonne stratégie d'ammincissement permet de mincir rapidement .

Une mauvaise connaissance de la diététique peut conduire à des carences graves à la suite d'un régime .

Chien à colorier .

Pourquoi est important de posséder des notions de diététique ?

Je suis grand et gros .

Je suis contre le régime et la diététique .

Qu'est ce que veut dire être en surpoids ?

Ma fille est trop petite .

Où trouver des recettes diététique pour ma famille ?

Les courbes donnant le périmètre thoracique en fonction de l'âge sont utilisées pour suivre l'évolution du périmètre thoracique de l'enfant .

La diététique doit-elle être enseignée à l'école ?

C'est durant l'enfance que l'on doit suivre régulièrement la courbe de corpulence afin de détecter une éventuelle obésité .

Il est très important de suivre la courbe de taille durant toute l'enfance .

Les thèmes de tpe relatifs à la croissance sont souvents originaux .

Variez votre alimentation et privilégiez les recettes légères .

Il est très important de suivre la courbe de corpulence durant toute l'enfance .

Suis-je trop gros ?

Les enfants qui se trouvent trop gros doivent consulter les courbes de poids de référence .

La pratique régulière d'une activité physique et une alimentation équilibrée peut vous aider à réduire votre indice de masse corporelle (IMC) .

Les tpe risquent d'être supprimés par le gouvernement .

Les élèves plébiscitent les tpe .

Patiquer régulièrement une activité physique peut vous aider à réduire votre poids .

Néanmoins il se suffit pas de dire je vais maigrir .

Les enfants qui se trouvent trop petits doivent consulter les courbes de poids de référence .

J'ai décidé de maigrir .

J'ai décidé de faire de l'exercice .

Lorsqu'un adolescent est atteint de boulimie, il est souvent en surpoids .

Chien à colorier .

Qu'est ce que veut dire être en surpoids ?

La diététique doit-elle être enseignée à l'école ?

Les tpe risquent d'être supprimés par le gouvernement .

Pour maigrir j'évite la cuisine .

Une alimentation équilibrée est la garantie d'une croissance équilibrée de l'enfant .

Patiquer régulièrement une activité physique peut vous aider à réduire votre poids .

Les élèves plébiscitent les tpe .

Une mauvaise alimentation peut être à l'origine d'une augmentation de l'indice de masse corporelle (IMC) .

Les courbes donnant le périmètre thoracique en fonction de l'âge sont utilisées pour suivre l'évolution du périmètre thoracique de l'enfant .

Dans ma cuisine j'adore préparer des recettes légères .

Cependant votre pédiatre se doit de placer les points sur les courbes de croissance du carnet de santé .

Patiquer régulièrement une activité physique peut vous aider à réduire votre indice de masse corporelle (IMC) .

Chien à colorier .

Une bonne dose d'activité physique vaut mieux que tous les conseils de diététique .

Comment maigrir ?

Mon fils est trop grand .

C'est durant l'enfance que l'on doit suivre régulièrement la courbe de corpulence afin de détecter une éventuelle obésité .

Quelle stratégie d'ammincissement choisir ?

C'est durant la petite enfance que l'on doit suivre régulièrement les courbes de croissance .

Lorsqu'un adulte est atteint de boulimie, il est souvent en surpoids .

COMPRENDRE LA CROISSANCE

A propos de statistiques...

Introduction

Décrire, classer, synthétiser des données sont des activités courantes dans toutes les disciplines qui font appel à l'expérience et à l'observation. L'étude de la croissance et notamment l'établissement des courbes de croissance n'échappe pas à ce type d'activité car les démarches utilisés sont bien souvent expérimentales et basées sur l'observation . De ce fait de nombreuses données doivent être collectées et analysées à l'aide de modèles statistiques.

Quelques définitions

Population

Groupe d'individus ou d'éléments auquel nous nous intéressons, ensemble de " référence " sur lequel portent les observations. Ainsi l'ensemble de tous les étudiants de France, de tous les bacheliers de sexe féminin en 1995 constituent des populations.

Définir la population d'étude est un point fondamental, dans la mesure où tout ce que nous pouvons observer, dire ou calculer est relatif à cette population. Bien souvent cette population est définie à travers la ou les valeurs spécifiques d'une variable. Ainsi, nous pouvons définir la population des nouveau-nés de moins de 5 jours, en région PACA au 1er décembre 1994: il s'agit d'une population parfaitement dénombrable et bien définie.

Population

Bien entendu, le plus souvent, il est difficile d'étudier tous les éléments d'une population donnée. Il est tentant alors d'essayer d'examiner un sous-groupe de cette population d'étude et d'essayer de déduire (d'inférer), à partir des observations effectuées sur ce sous-groupe, le comportement de la population générale. La difficulté réside dans le choix du ou des "échantillon(s)" qui doit(vent) être "représentatif(s) " de la population. Nous reviendrons plus longuement ultérieurement sur les moyens d'atteindre cette représentativité.

Que nous travaillions sur la population entière ou sur un échantillon, nous allons effectuer des mesures, observer des valeurs prises par des grandeurs ou des caractères etc...., bref nous allons définir des variables.

Variable statistique

Un individu peut être décrit selon une ou plusieurs composantes qu'on appelle caractères ou variables statistiques.

Ex: taille, poids, sexe, couleur des yeux...

Les modalités sont les différentes situations disjonctives et exhaustives d'une variable, ce qui signifie que chaque individu présente une modalité et une seule de cette variable.

Ex: taille : tout nombre d'un intervalle des nombres réels dont les limites sont compatibles avec la taille d'un individu.

couleur des cheveux: blond, brun, noir, roux.

On distingue :

* Les variables quantitatives :

La modalité de la variable est alors un nombre résultant d'une mesure ou d'un comptage. L'expression ² modalité² est alors remplacée par le terme ² valeur² .

Variable quantitative discrète :

Les différentes modalités de la variable sont des nombres isolés (définies par un comptage).

Ex: nombre d'enfants par famille, titre d'anticorps dans le sang (dilutions successives).

Variable quantitative continue :

Une variable quantitative continue peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle.

Ex: taille, poids, pression artérielle systolique, concentration plasmatique de cholestérol.

On peut aussi décider de constituer des classes. Ces dernières sont alors contiguës, et ne se chevauchent pas : par exemple: ]5;7], ]7;9], ...., ]13;15].

L'intervalle ]5 ;7] est un intervalle semi-ouvert qui contient les valeurs 6 et 7 mais ne contient pas la valeur 5.

Les différentes modalités utilisées pour décrire la distribution d'une variable font donc l'objet d'une décision prise a priori.

* Les variables qualitatives :

Un caractère est qualitatif si chaque modalité ne peut être mesurée ou repérée par un nombre.
Variable qualitative nominale :

La modalité (dénommée aussi " catégorie ") est alors un nom, un adjectif, une phrase...

Ex : sexe (féminin, masculin), couleur des yeux, groupes sanguins...

Les modalités qualitatives n'ont ici pas de relation d'ordre.

Variable qualitative ordinale

Les modalités d'une variable qualitative ordinale ont une relation d'ordre.

Ex: maturation osseuse (-, +, ++,+++), type d'enfant (nouveau-né, enfant, adolescent).

Les modalités d'une variable qualitative ordinale sont encore dénommées catégories, ou niveaux (pour mettre l'accent sur le caractère ordonné des modalités).

Dans ces situations, il est d'usage d'attribuer un codage consistant à associer artificiellement une valeur à chaque modalité, reprenant l'ordre croissant ou décroissant des modalités de la variable.

Série statistique

Une série statistique est l'ensemble des valeurs observées pour une ou plusieurs variables sur les n sujets ou éléments de la population.

Une série simple est l'ensemble des n valeurs observées pour une variable.

Une série statistique est représentée par (x1, x2,......, xi,..... xn), xi étant la valeur de X pour le ième élément observé, i = 1, ....., n.

Une première opération consiste souvent à ranger par ordre croissant les valeurs composant la série. Une fois rangée, la série est alors représentée par :

(x(1), x(2) , ......, x(i), ....., x(n)) avec x(1) £ x(2) £ ...... £ x(i) £ ..... £ x(n).

Ainsi, la série (x1, x2, x3, x4, x5, x6., x7, x8, x9) = (15, 3, 623, 46, 126, 64, 1350, 279, 23) devient : (x(1), x(2), x(3), x(4), x(5), x(6)., x(7), x(8), x(9)) = (3, 15, 23, 46, 64, 126, 279, 623, 1350) après cette opération

Une série double est l'ensemble des valeurs observées pour deux variables : il s'agit alors d'une série de n couples de valeurs

Unité statistique

L'unité statistique est un élément de la population ou du groupe étudié. L'ensemble des unités statistique constitue la population. On remplacera volontiers par la suite le terme " unité " par le terme " individu ".

Distribution statistique

Il s'agit de l'ensemble des couples (xi, ni), où xi est une modalité de la variable x, et ni le nombre de fois où cette modalité est observée (effectif ou fréquence absolue). Elle peut aussi être l'ensemble des couples (xi, fi), où fi est la fréquence relative (ou proportion) de la modalité xi :

fi = ni /n (n étant l'effectif total des observations).

Différents paramètres caractérisant un échantillon

Il est possible de résumer les données quantitatives grâce à un certain nombre de paramètres. Les paramètres de position ont pour objet de situer le point (sa position) autour duquel les valeurs observées se distribuent. Les paramètres de dispersion mesurent leur degré de variabilité.

Enfin, les paramètres de forme, moins utilisés, renseignent sur la forme de la distribution.

Paramètres de position

La médiane, la moyenne, et le mode ont les mêmes unités que les observations initiales.

La moyenne arithmétique

La moyenne arithmétique d'une série statistique est égale à la somme de ses termes divisée par le nombre de termes. Ainsi, il est possible de "situer" par exemple une population sur une échelle des durées, en déterminant la moyenne des durées observées pour tous les individus de l'échantillon.

Elle est désignée par la lettre et vaut :

La médiane

Les valeurs étant rangées par ordre croissant, la médiane est le nombre qui partage la série en deux parties de même effectif. Il y a autant de valeurs inférieures à la médiane que de valeurs supérieures.

Détermination d'une médiane :

Si l'effectif est impair, le calcul de la médiane ne pose pas de problème particulier. Sur la série de valeurs ordonnées, la médiane est alors la valeur de rang égal à (n+1).

Si l'effectif est pair, toute valeur comprise dans l'intervalle ouvert de borne inférieure la valeur de rang , et de borne supérieure la valeur de rang + 1 permet de partager la série ordonnée en 2 groupes de même effectif. La moyenne de ces deux bornes est souvent utilisée pour calculer la médiane : [x(n/2) + x((n/2)+1)]/2.

Propriétés générales de la moyenne et de la médiane :

1- La moyenne dépend de la valeur de tous les nombres composant la série alors que la médiane dépend essentiellement de leur ordre.

2- la moyenne présente le défaut d'être très sensible aux valeurs exceptionnelles ou aberrantes alors que la médiane n 'est pas influencée par ces valeurs.

3- Compte tenu de sa formule, la moyenne a de bonnes propriétés algébriques (celles des sommes), alors que la médiane ne se prête pas simplement aux calculs algébriques.

Le mode ou classe modale

Le mode est la valeur observée avec la plus grande fréquence. Sa valeur s'obtient directement à partir du tableau statistique ou du diagramme en bâtons. Pour un caractère continu, la classe modale est celle qui correspond au plus grand effectif si toutes les classes ont la même amplitude. Il peut arriver qu'il y ait plusieurs valeurs modales.

La moyenne et la médiane sont les paramètres les plus utilisés. Nous verrons plus loin sur quelles bases reposent l'utilisation de l'un ou de l'autre.

Paramètres de dispersion

La variance et l'écart type

Nous avons besoin, ensuite, d'une mesure de la dispersion autour de cette moyenne. Une valeur située à une égale "distance" de cette moyenne, qu'elle soit inférieure ou supérieure à celle-ci, devrait contribuer également à cet index de variabilité, alors même que la différence entre cette valeur et la moyenne est tantôt négative, tantôt positive. En élevant au carré la valeur, nous obtenons un nombre constamment positif. La variation autour de la moyenne peut être décrite à partir du calcul de la somme du carré des écarts (SCE). La variance est la moyenne du carré des écarts. Elle est plus importante lorsqu'il y a plus de variabilité entre les valeurs de la série. Elle est notée s² .

Elle vaut :

où xi est la valeur prise par le ième individu et la moyenne des valeurs sur la série.

Comme il est souvent difficile de se représenter les variances, on utilise plus souvent la racine-carrée de la variance, que nous pourrions appeler la racine carrée de la déviation carrée moyenne autour de la moyenne. Comme ceci n'est guère prononçable, on lui donne le nom d'ECART-TYPE (ou déviation standard, cette appellation provenant du terme anglais) et on le note s.

s = racine carrée de s²

Extrêmes et étendue

Les valeurs minimales et maximales étant les extrêmes, l'étendue est la différence entre ces deux extrêmes.

Le coefficient de variation

Noté CV, le coefficient de variation est le rapport entre écart-type et moyenne.
CV = ou x 100 lorsqu'il est exprimé en pourcentage.

Cette caractéristique est donc indépendante des unités de mesure.

Les quantiles, les percentiles

Ces paramètres sont en fait des paramètres de position qui peuvent être aussi utilisés pour analyser la dispersion. Les valeurs étant rangées par ordre croissant, et p étant un nombre compris entre 0 et 1, le quantile d'indice p de la série de valeurs, noté Qp , est un nombre qui doit vérifier les deux conditions suivantes:

- le pourcentage de valeurs de la série inférieures à Qp est inférieur ou égal à 100p %.

- le pourcentage de valeurs de la série supérieures à Qp est inférieur ou égal à 100(1-p) %.

La détermination du quantile de p :

Le quantile de p est la valeur de rang p(n+1).

Quand p = 0,5, alors il s'agit de la médiane, valeur de rang (n+1).

Les quartiles sont les 3 quantiles de 0.25, 0.50, 0.75: Q0.25, Q0.5, Q0.75 notés aussi Q1, Q2, Q3.

On peut aussi définir les déciles (p variant de 0.1 à 0.9, il y en a 9), et les centiles (p variant de 0.01 à 0.99, il y en a 99).

La distribution normale

Probabilité d'une distribution normale

Les données sont dites continues lorsqu'une donnée peut prendre une infinité de valeurs entre deux points quelconques. Par exemple les poids (masse corporelle), les longueurs (taille, périmètres, etc..), les durées sont en général considérés comme des données continues.

Il est possible de décrire un jeu de données continues à l'aide d'une fonction de densité de probabilité qui est représentée par une courbe continue dont l'aire sous la courbe entre deux points localisés sur l'axe horizontal représente la probabilité qu'une observation tombe entre ces deux points. Pour les distributions de probabilités continues, les probabilités sont associés à un intervalle et non pas à un point comme pour les distributions discrètes. Ainsi la probabilité pour que la valeur de la variable aléatoire X soit dans l'intervalle compris entre X=a et X=b se note P(a<X<b).

Ainsi la probabilité en un point de la distribution est nulle :

P(X=b)=0, ou encore P(a<X<b)=P(a<X£b)

La surface sous la courbe de la fonction de répartition est 1. Pour la variable aléatoire X avec une densité de probabilité f(x) il est possible de calculer les valeurs suivantes :

Probabilité que X soit comprise entre a et b :

Moyenne :

Variance :

La distribution normale

Beaucoup de données expérimentales possèdent une distribution normale ou peuvent être transformées afin d'être proches de ce type de distribution. Pour pratiquement tous les types de données, les sommes et les valeurs moyennes d'observations répétées suivront une distribution normale.

La fonction de répartition d'une distribution normale est :


Ou en coordonnées réduites (Z) :



La fonction de répartition Normale est symétrique par rapport à sa moyenne µ. La variable représente l'écart-type de la distribution.

Si la distribution normale représente une bonne approximation de la distribution de la population, alors les valeurs observées des centiles sont proches des valeurs calculées à partir de la moyenne et de la déviation standard. Dans ce cas, moyenne et déviation standard résument correctement cette population. Pourquoi se soucier de cette adéquation à une distribution normale ? Tout simplement, parce que de nombreuses procédures statistiques utilisées pour tester des hypothèses, supposent que les populations suivent une distribution normale, au moins approximativement, pour être valides.

Calcul des probabilités avec une distribution normale réduite

La notation N(µ, ²) est utilisée pour représenter une distribution normale dont la moyenne est µ et la variance ² (l'écart type est alors ). Une distribution Normale Réduite est une distribution dont la moyenne est égale à 0 et dont l'écart type est égal à 1. Elle est notée parfois N(0,1) mais le plus souvent elle est désignée par la lettre " Z ".

Les tables normales réduites sont alors utilisées pour le calcul des probabilités normales réduites.

Exemple: Calculer la probabilité P(1,00 < Z < 1,42)

A partir de la table normale réduite nous trouvons :

P(Z < 1,00) = .8413, et P(Z < 1,42) = 0,9222.

Ainsi :

P(1,00 < Z < 1,42) = P(Z < 1,42) - P(Z<1,00) = 0,0809

Calcul des probabilités avec une distribution normale générale

Une des propriétés importante des distributions Normales est :

si X ~ N(µ, ²) alors (X - µ)/ ~ N(0,1)

Donc si X suit une distribution normale N(µ, ²) , alors nous pouvons convertir la probabilité normale générale P(a<X<b) en une probabilité normale standard P(A<Z<B) et ainsi utiliser les tables normales standard :



Exemple:

Supposons que la variable aléatoire X suit une distribution normale dont la moyenne est 2.3 et l'écart type 0.6. Trouvez P(X > 2).

Note : du fait de la symétrie de la distribution normale P(Z>-0,5)=P(Z<0,5).

Comment calculer les percentiles d'une distribution normale

Le calcul des percentiles d'une série statistique fournit un bon moyen de juger l'adéquation à une distribution normale. Nous avons vu précédemment que dans une population dont les valeurs obéissent à une loi de distribution normale, près de 95 % des membres de la population sont situés dans un intervalle de ± 1.96 déviation standard par rapport à la moyenne et que 68% sont situés dans un intervalle de ± 1 déviation standard de cette moyenne. Le tableau ci-dessous montre que, dans le cas d'une distribution normale, les valeurs des centiles sont :

2.5ième percentile	- 1.96 déviations standards.
16ième percentile	- 1 déviation standard.
50ième percentile	0 déviation standard.
84ième percentile	+ 1 déviation standard.
97.5ième percentile	+ 1.96 déviations standards.

Exemple: Quel est le 90ème percentile d'une distribution normale standard N(0,1)?

Ce problème se résume à trouver la valeur a pour laquelle la condition suivante est satisfaite P(Z < a) = 0,90. Pour cela il faut utiliser la première colonne des tables normales réduites et trouver une valeur de Z la plus proche de 0,90. La valeur de Z la plus proche est 1,28 (i.e. 1,28 écart-type).

Il est également possible de trouver la valeur exacte (a=1,2815) à l'aide du programme suivant :

Pour trouver l'aire P sous la courbe de la distribution normale N(µ, ²) dans l'intervalle [a ;b], remplissez les 4 zones de saisie et pressez le bouton " Calculer ". La distribution normale standard N(0,1) a une moyenne de 0 et un écart type de 1. Utilisez -inf et +inf pour les limites à l'infini.

Exemple: Quel est le 90ème percentile de la distribution N(2.3, 0.62) ?

Ce problème se résume à trouver la valeur a pour laquelle la condition suivante est satisfaite P(X < a) = 0,90. Pour cela il faut d'abord convertir la variable X en variable " Z ", puis utiliser la première colonne des tables normales réduites comme précédemment.

Le problème revient donc à résoudre l'équation suivante :



Ce qui se ramène, d'après l 'exemple précédent, à :



d'où a=1,28x0,6 + 2,3 = 3,068

Intervalle de confiance

Intervalle de confiance à 95%

Si l'on considère une population de n échantillons alors si n est suffisamment grand (n>80)

Donc :

Après quelques réarrangements nous obtenons la formulation suivante :



Qui signifie que nous sommes sur à 95% que la moyenne µ est incluse dans l'intervalle

Formulation générale de l'Intervalle de confiance

Les limites de l'intervalle de confiance à 100.(1-)% de la moyenne µ sont :



Avec Z1-/2 le (1-/2)ième percentile de N(0,1). De ce fait pour un intervalle de confiance à 95%, a vaut 0,05 et nous avons Z1-/2= Z0,975=1,96. Nous utiliserons dont le 97,5ème percentile dans la formule précédente pour l'obtention de l'intervalle de confiance à 95%.

Avec cette notation, a représente l'erreur que nous souhaitons introduire dans notre modèle. Ainsi, si nous estimons la moyenne avec un intervalle de confiance à 95% alors nous autorisons une erreur de 5%.

Divers extraits d'articles scientifiques de référence.

Auteur : Enfance et croissance